El Teorema de Rolle nos dice lo siguiente: Supongamos que \(f\) es una función que cumple con todas estas condiciones...

1. \(f\) es continua en el intervalo cerrado \([a, b]\). 2. \(f\) es derivable en el intervalo abierto \((a, b)\). 3. Los valores de la función en los extremos del intervalo son iguales, es decir, \(f(a) = f(b)\). Si se cumplen estas condiciones, entonces existe al menos un punto \(c\) en el intervalo abierto \((a, b)\) donde la derivada de la función se anula, es decir, \(f'(c) = 0\). Ahora vamos a revisar la función \(f(x) = x^{2/3}\) en el intervalo \([-1, 1]\). Esta función es: ✅ Continua en \([-1, 1]\) (de hecho es continua en todos los reales, su dominio es $\mathbb{R}$) ✅ Los valores de la función en los extremos son iguales porque \(f(-1) = f(1) = 1\) Hasta acá venimos perfecto, parece que se cumplen las condiciones para aplicar el Teorema de Rolle, pero nos falta una última condición... la derivabilidad de \(f(x)\) en el intervalo \((-1, 1)\). La derivada de \(f(x)\) es: $f'(x) = \frac{2}{3} \cdot x^{-1/3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{1/3}}$ Esta derivada no está definida cuando \(x = 0\) (fijate que nos quedó el $0$ en el denominador!) Entonces, no se puede afirmar que \(f(x)\) sea derivable en todo el intervalo abierto \((-1, 1)\) como requiere el Teorema de Rolle.

Por lo tanto, la función no contradice el Teorema de Rolle porque no cumple con todas las hipótesis del teorema.